В Треугольнике Mnk На Стороне Mn Отмечена Точка B

Урок 24 Решение задач на нахождение площади Цели урока: • Способствовать формированию целостности знаний и способов действий. Организационный момент Сообщить тему урока, сформулировать цели урока. • Актуализация знаний учащихся• Решение задач по готовым чертежам I уровень: № 1,2, 3, 5, 7, 9 (устно); II уровень: № 1-9 (письменно с последующей самопроверкой). ABCD - параллелограмм, ВН = 8 см. Найти: ВК.• Рис. ABCD - параллелограмм.

Найти: S abcd -• Рис.316. Найти: S abc -• Рис.317. Найти: S abc- Рис. 320 • Рис.318. Найти: Sabc-• = 48. Найти: Sabc-• Рис.

АС= 12; S ABCD Найти: BD. ABCD -трапеция, ВС: AD = 2: 3; ВК = 6; S ABCD= 60. Найти: ВС, AD. Найти: S Abcd III. Самостоятельная работа 1 уровень I вариант 1.Сторона параллелограмма равна 21 см, а высота, проведенная к ней 15 см. Найдите площадь параллелограмма.

• Сторона треугольника равна 5 см, а высота, проведенная к ней, в 2 раза больше стороны. Найдите площадь треугольника.• В трапеции основания равны 6 и 10 см, а высота равна полу­сумме длин оснований. Найдите площадь трапеции.• Стороны параллелограмма равны 6 и 8 см, а угол между ними равен 30°.

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих.

Найдите площадь параллелограмма.• Диагонали ромба относятся как 2: 3, а их сумма равна 25 см. Найдите площадь ромба.

II вариант • Сторона параллелограмма равна 17 см, а его площадь 187 см 2. Найдите высоту, проведенную к данной стороне. Сторона треугольника равна 18 см, а высота, проведенная к ней, в 3 раза меньше стороны.

Найдите площадь треугольника • В трапеции основания равны 4 и 12 см, а высота равна полусумме длин оснований. Найдите площадь трапеции.• Стороны параллелограмма равны 4 и 7 см, а угол между ними равен 150°. Найдите площадь параллелограмма.• Диагонали ромба относятся как 3: 5, а их сумма равна 8 см. Найдите площадь ромба. II уровень I вариант • В равнобедренном треугольнике ABC высота ВН равна 12 см, основание АС в 3 раза больше высоты ВН. Найдите площадь треугольника АВС.• В параллелограмме ABCD стороны равны 14 и 8 см, высота проведенная к большей стороне, равна 4 см.

Найдите площадь параллелограмма и вторую высоту.• Площадь трапеции равна 320 см 2, а высота трапеции равна 8 см. Найдите основания трапеции, если длина одного из оснований составляет 60% длины другого.• В треугольнике ABC стороны АВ и ВС равны соответственно 14 и 18 см. Сторона АВ продолжена за точку А на отрезок AM, рав­ный АВ. Сторона ВС продолжена за точку С на отрезок КС, равный половине ВС.

Найдите площадь треугольника МВК, если площадь треугольника АВС равна 126 см 2.• В ромбе АВСК из вершин В и С опущены высоты ВМ и СН на прямую АК. Найдите площадь четырехугольника МВСН, если пло­щадь ромба равна 67 см 2.

II вариант • В равнобедренном треугольнике ABC высота АН в 4 раза меньше основания ВС, равного 16 см. Найдите площадь треугольника АВС.• В параллелограмме ABCD высоты равны 10 и 5 см, площадь параллелограмма равна 60 см 2. Найдите стороны параллелограмма.• В равнобокой трапеции АВСМ большее основание AM равно 20 см, высота ВН отсекает от AM отрезок АН, равный 6 см. Угол ВАМ равен 45°.

Найдите площадь трапеции.• В ромбе ABCD на стороне ВС отмечена точка К такая, что КС: ВК =3:1. Найдите площадь треугольника АВК, если площадь ромба равна 48 см 2.• В треугольнике АВМ через вершину В проведена прямая d, параллельная стороне AM.

Из вершин А и М проведены перпендикуляры АС и MD на прямую d. Найдите площадь четырехугольника ACDM, если площадь треугольника АВМ равна 23 см 2. III уровень I вариант 1.

Площадь параллелограмма равна 48 см 2, а его периметр 40 см Найдите стороны параллелограмма, если высота, проведенная к ной из них, в 3 раза меньше этой стороны • В ромбе ABCD диагонали равны 5 см и 12 см. На диагонали АС взята точка М так, что AM: МС = 4:1. Найдите площадь треуголь­ника AMD.• В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, больший из которых равен 20 см. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 12 см.• В треугольнике ABC .В = 130°, АВ = а, ВС = b,а в параллело­грамме МРКН МР = а, МН = b,  M = 50°. Найдите отношение пло­щади треугольника к площади параллелограмма.• В трапеции ABCD ВС и AD - основания, ВС: AD = 3:4. Пло­щадь трапеции равна 70 см 2.

Найдите площадь треугольника АВС. II вариант • Площадь параллелограмма равна 50 см 2, а его периметр 34 см. Найдите стороны параллелограмма, если одна из них в 2 раза боль­ше проведенной к ней высоты.• В прямоугольном треугольнике АВС точка О - середина ме­дианы СН, проведенной к гипотенузе АВ, АС = 6 см, ВС = 8 см. Най­дите площадь треугольника ОВС.

• В равнобедренной трапеции угол между диагоналями равен 90°, высота трапеции равна 8 см. Найдите площадь трапеции.• В треугольнике ABC АВ = х, АС = у, . A = 15°, а в треугольнике МРК КР - х, МК = у,  K - 165°. Сравните площади этих треугольников.• В трапеции ABCD ВС и AD - основания, ВС: AD = 4:5. Пло­щадь треугольника А CD равна 35 см 2.

Найдите площадь трапеции. Примечание: Самостоятельная работа III уровня рассчитана на весь урок. Этап актуализации знаний учащихся проводится с учащимися, которым в дальнейшем будут предложены задачи I или II уровня, при этом при выполнении самостоятельной работы в целях эконо­мии времени к задачам 1-3 необходимо начертить рисунок и краткое решение (можно только ответ), к задачам 4, 5 - полное решение. В зависимости от уровня подготовленности класса количество обяза­тельных задач можно сократить до четырех.

Подведение итогов урока Домашнее задание Решить первый вариант самостоятельной работы следующего уровня; для учащихся, решавших самостоятельную работу III уровня - до­полнительные задачи. Дополнительные задачи 1.

В трапеции ABCD AD и ВС - основания, AD: ВС = 2:1. Точка Е - середина стороны ВС трапеции. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника AED равна 60 см 2 • В трапеции МРНК МК - большее основание. Площади треугольников МНК и КНР равны S 1 и S 2 соответственно. Найдите площадь трапеции.• Рис. Дано:  АВС - равнобедренный, АС - основание, КТ  ВС, МР  АВ, ЕО  АС.

Доказать: S AEMN: S MOCT = ВР: ВК. 4.В ромбе ABCD ВМ - биссектриса треугольника ABD,  BMD = 157°30 Найдите площадь ромба, если его высота равна 10 см. Дано: ABCD - ромб, НТ  АВ, МР  ВС.

Доказать: Saomt  Sohcp = S M bho  Stopd Рис 323 Рис.

Многоугольники 1. Выпуклый четырехугольник ABCD имеет две пары равных между собой смежных сторон: AB=AD, BC=CD, O – точка пересечения диагоналей четырехугольника. Сравните периметры пятиугольников ABCOD и ABOCD. Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника не зависит от числа сторон многоугольника. Диагональ AC невыпуклого четырехугольника ABCD разделяет этот четырехугольник на два треугольника, причем AB>BC, AB=AD, BC=CD, а прямые, содержащие диагонали четырехугольника, пересекаются в точке О. Сравните периметры пятиугольников BCODA и DCOBA. Докажите, что разность сумм углов выпуклых п-угольника и ( п-1) –угольника не зависит от п.

Параллелограмм 1. В четырехугольнике ABCD.

Найдите углы параллелограмма, если его площадь равна 40см2, а стороны 10 см и 8 см. Сравните площади параллелограмма и квадрата, если они имеют одинаковые периметры и сторона квадрата равна высоте параллелограмма. (Параллелограмм не является прямоугольником). В треугольнике АВС.

Средняя линия треугольника. Свойство медиан треугольника. ABCD – параллелограмм. От вершин А и В на сторонах AD и BC отложены равные отрезки AQ и BP, E и F – точки пересечения диагоналей четырехугольника ABPQ и QPCD. Докажите, что EF║BC и EF= BC. В треугольнике АВС АВ= ВС.

Медианы треугольника пересекаются в точке О, ОА= 5, ОВ= 6. Найдите площадь треугольника АВС. В прямоугольном треугольнике АВС (. Домашний очаг • • • • • • • • • •: • • • • • • • • История: • • Окружающий мир: • • • • • • • • Справочная информация • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •: • • •: •: • • • • •: • • •: • • • • • Техника • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •: • • Образование и наука: • • • • • • • • Предметы: • • • • • • • • • • • • • • • () • • • • • • • Мир: • • • • • • •: • • • • • Бизнес и финансы: • • • • • • • •: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •: • • • • • • • • • • • •.

План занятий Треугольник Треугольник. Остроугольный, тупоугольный и прямоугольный треугольник. Катеты и гипотенуза. Равнобедренный и равносторонний треугольник. Основные свойства треугольников. Сумма углов треугольника.

Внешний угол треугольника. Признаки равенства треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Игры Трансформеры На Двоих. Замечательные линии и точки в треугольнике: высоты, медианы, биссектрисы, срединны e перпендикуляры, ортоцентр, центр тяжести, центр описанного круга, центр вписанного круга. Теорема Пифагора. Соотношение сторон в произвольном треугольнике.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины. Если все три угла острые ( рис.20 ), то это остроугольный треугольник. Если один из углов прямой ( C, рис.21 ), то это прямоугольный треугольник; стороны a, b, образующие прямой угол, называются катетами; сторона c, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Если один из углов тупой ( B, рис.22 ), то это тупоугольный треугольник.

Треугольник ABC ( рис.23 ) - равнобедренный, если две его стороны равны ( a = c ); эти равные стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием треугольника. Треугольник ABC ( рис.24 ) – равносторонний, если все его стороны равны ( a = b = c ). В общем случае ( a ≠ b ≠ c ) имеем неравносторонний треугольник.

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике: 1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.

Сумма углов треугольника равна 180 º. Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 º. Продолжая одну из сторон треугольника (AC, рис.25), получаем внешний угол BCD. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним: BCD = A + B. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности ( a b – c; b a – c; c a – b ). Признаки равенства треугольников. Треугольники равны, если у них соответственно равны: a ) две стороны и угол между ними; b ) два угла и прилегающая к ним сторона; c ) три стороны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников. Два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий: 1) равны их катеты; 2) катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого; 3) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого; 4) катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого; 5) катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.

Замечательные линии и точки в треугольнике. Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ).

Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Ортоцентр остроугольного треугольника ( точка O, рис.26 ) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника ( точка O, рис.27 ) – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла. Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника ( AD, BE, CF, рис.28 ) пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной.

Три биссектрисы треугольника ( AD, BE, CF, рис.29 ) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга (см. Раздел «Вписанные и описанные многоугольники»). Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам; например, на рис.29 AE: CE = AB: BC. Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны).

Три срединных перпендикуляра треугольника АВС ( KO, MO, NO, рис.30 ) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга ( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC ). В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном - в середине гипотенузы.

Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Доказательство теоремы Пифагора с очевидностью следует из рис.31.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами a, b и гипотенузой c. Построим квадрат AKMB, используя гипотенузу AB как сторону. Затем продолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтобы получить квадрат CDEF, сторона которого равна a + b. Теперь ясно, что площадь квадрата CDEF равна ( a + b ) 2.

С другой стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадрата AKMB, то есть c 2 + 4 ( ab / 2 ) = c 2 + 2 ab, отсюда, c 2 + 2 ab = ( a + b ) 2, и окончательно имеем: c 2 = a 2 + b 2. Соотношение сторон в произвольном треугольнике. В общем случае ( для произвольного треугольника ) имеем: c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos C, где C – угол между сторонами a и b.

    Search